:: wikimiki.org ::

Impuls

Impuls

Categorie:Mechanica In de natuurkunde is de impuls (in het Engels momentum) een grootheid gerelateerd aan de snelheid en de massa van een object. Binnen de klassieke mechanica is impuls p gedefinieerd als: : p = m v ofwel, de impuls is het product van massa en snelheid. De impuls is een vector, dat wil zeggen dat het zowel een grootte als een richting heeft. De SI-eenheid van impuls is N.s, wat in fundamentele eenheden neerkomt op kg.m/s.

Impuls in de klassieke natuurkunde: wet van behoud van impuls

De impuls is een belangrijke grootheid in de klassieke natuurkunde. Een van de behoudswetten betreft de impuls. Als er geen externe kracht werkt op een syteem, blijft de totale impuls behouden. Dit principe wordt toegepast op bijvoorbeeld botsingen van twee deeltjes (in de natuurkundelessen vaak biljartballen). Een externe kracht verandert echter wel de impuls van een object. De stoot I is de integraal van de kracht over de tijd. : I = ∫ F dt wat door gebruikt te maken van de definitie van kracht, leidt tot: : I = ∫ (d p /d t) dt : I = ∫ d p : I = Δ p

Impuls in de relativistische natuurkunde

Het werd algemeen aangenomen dat de wetten van de natuurkunde invariant zouden zijn voor translatie. De definitie van impuls veranderde dan ook toen Albert Einstein met zijn relativiteitstheorie op de proppen kwam. In zijn theorie formuleerde hij de impuls zodanig dat het invariant bleef voor relativistische transformaties. Zie natuurkundige behoudswetten. Hiervoor definiëren we de 4-impuls, een vector in vier dimensies: : [E/c p] waar E de totale energie in het systeem is en de relativistische impuls p als volgt gedefinieerd is: : E = γ m c²
: p = γm v Een alternatieve rekenmethode in de relativistische mechanica is om de regel p = m v te behouden, maar de massa te herdefiniëren tot m=γm₀, waar m₀ de rustmassa is. De lengte van het 4-impuls blijft constant en ziet er als volgt uit: : p · p - E² Massaloze deeltjes zoals fotonen hebben eveneens een impuls. Voor hen geldt: : p = E / c, waarin E de energie van het foton is. Met deze definitie geldt voor zowel deeltjes met massa als deeltjes zonder massa dat |p|=Ev/c², waar |p| de lengte van de vector p aangeeft. (massaloze deeltjes bewegen zich altijd met de lichtsnelheid).

Impuls in de kwantummechanica

De twee bovenstaande beschrijvingen waren redelijk gelijksoortig, in de kwantummechanica ziet de wereld er echter anders uit. Alle meetbare grootheden worden daar voorgesteld door hermitische operatoren. Zo ook de impuls. De operator voor de impuls is :

\frac\frac

Wanneer met deze operator gewerkt wordt in de kwantummechanica, zijn de uitkomsten van de berekeningen (wanneer toegepast op voor de andere methoden gebruikelijke schaal) overigens wel gelijk aan de bovenstaande formules.

Gegeneraliseerde impuls

Gegeneraliseerde impuls is een term uit het Lagrangeformalisme, en is gedefinieerd als:

p_q\equiv\frac

. De impuls zoals hierboven beschreven, is inderdaad van deze vorm, wanneer men voor q een cartesische coördinaat gebruikt. Zie ook: impulsmoment ---- Let op! Het Engelse woord impulse heeft dezelfde betekenis als het Nederlandse stoot, niet als impuls. Het Engelse woord voor impuls is momentum, niet te verwarren met het Nederlandse woord moment, dat in het Engels torque heet (en daarmee lijkt op het Nederlandse woord torsie, dat synoniem is voor moment) Externe links: http://www.fys.kuleuven.ac.be/pradem/laboproeven/lab001.html ja:運動量 ko:운동량 ms:Momentum zh-min-nan:Ūn-tōng-liōng

Categorie:Mechanica

Wetenschap -- Exacte wetenschap -- Natuurkunde ---- De mechanica is het onderdeel van de natuurkunde dat zich bezighoudt met bewegingen van voorwerpen onder invloed van de krachten die erop werken. Zie: mechanica en klassieke mechanica. Categorie:Natuurkunde ja:Category:力学 ko:분류:역학

Snelheid

Onder snelheid verstaat men in het algemeen de verandering van een grootheid door de tijd. Zo kent men naast de gewone snelheid van beweging, begrippen als hoeksnelheid, omloopsnelheid, omzettingssnelheid, groeisnelheid e.d.

Beweging

Snelheid is de verandering in de tijd van de plaats van een voorwerp. Als de plaats in meer dan een dimensie is gegeven, dus als vector, is ook de snelheid een vector, hetgeen betekent dat deze grootheid zowel grootte als richting heeft.

Eenheden

Een snelheid wordt volgens de SI eenheden gemeten in meter per seconde (m/s). Andere eenheden zijn kilometer per uur (km/u) en de knoop. In de Verenigde Staten worden mijlen per uur gebruikt (mph) voor de snelheid in het wegverkeer. Een in de natuurkunde belangrijke snelheid is de lichtsnelheid c. Deze wordt gebruikt als eenheid van snelheid wanneer men een hoge snelheden wil uitdrukken in een verhoudingsgetal ten opzichte van de lichtsnelheid. Een eenheid die een verhouding aangeeft, is het Mach getal. Dit is de verhouding tussen de snelheid van een object en de geluidssnelheid die ter plaatse heerst. Deze eenheid wordt vooral gebruikt om aan te geven dat de geluidssnelheid wordt benaderd of overschreden, wat bijvoorbeeld voor het vlieggedrag van vliegtuigen van belang is. Een snelheid die groter is dan Mach 1 wordt aangeduid met supersonische snelheid daaronder spreekt men van subsone snelheid.

Relatief begrip

Op grond van de relativiteitstheorie van Einstein bestaat er geen absolute snelheid. Dit is anders in het geval dat een van de ten opzichte van elkaar bewegende objecten een versnelling ondergaat. Met versnelling wordt een verandering van de snelheid bedoeld, die altijd met een kracht gepaard gaat. Als een object een constante snelheid heeft ten opzichte van ander object, bestaat er geen enkele manier om vast te stellen welk van deze objecten feitelijk beweegt. Een voorbeeld hiervan is de beweging van de melkwegstelsels. Op grond van de roodverschuiving neemt men aan dat de verste melkwegstelsels zich met grote snelheid van de aarde af bewegen. Met hetzelfde recht kan echter gezegd worden dat de aarde, ofwel onze eigen melkweg, zich van deze stelsels verwijdert. Dat snelheid een relatief begrip is, wordt als persoon soms wel eens ervaren in een auto of trein. Als deze langzaam gaat versnellen (optrekken) merken we de hierbij optredende lage kracht en de bijbehorende versnelling niet op. Het lijkt dan soms of de naaststaande auto of trein is gaan rijden.

Snelheid in formulevorm

De gemiddelde snelheid v van een object dat over een afstand Δx beweegt gedurende een tijdsinterval Δt is als volgt gedefinieerd: :

v = \frac

De (momentane) snelheid(svector) v van een object waarvan de positie op moment t wordt gegeven door een functie x(t) is gedefinieerd als de afgeleide van x naar t: :

v(t) = \lim_ \frac = \frac

De versnelling a is de verandering van de snelheid van het object over de tijd, en is de afgeleide van de snelheid. :

a(t) = \frac

De impuls

\vec

van een object met massa m is een direct met de snelheid

\vec

samenhangende (vector)grootheid. :

\vec = m \vec

De kinetische energie (bewegingsenergie) van een bewegend voorwerp is een scalaire grootheid, evenredig met de massa m van het object en het kwadraat van de grootte v van de snelheid: :

E_ = \frac mv^2

Zie ook

- Verkeersborden - Serie A: Snelheid
- trajectsnelheid
- snelheidscontrole
- ontsnappingssnelheid
- Dopplereffect Categorie:Mechanica ja:速度 ko:속도 ms:Halaju simple:Velocity

Massa (natuurkunde)

Massa is een natuurkundige grootheid, die een eigenschap van materie aanduidt. De eenheid van massa is kilogram. Eigenlijk zijn er twee soorten massa: de zware massa en de trage massa. Grootheden worden namelijk gedefinieerd, door de bijbehorende meting. Voor massa zijn twee wezenlijk verschillende metingen mogelijk. Omdat alle tot nog toe gedane experimenten gelijke waarden voor de beide meetmethoden hebben opgeleverd, wordt algemeen aangenomen dat het in feite maar één grootheid is. Pas sinds de Algemene Relativiteitstheorie heeft men kunnen bewijzen dat ze dezelfde zijn.

Zware massa

Zware massa is verbonden met zwaartekracht. Twee materiële objecten ondervinden van elkaar een aantrekkende kracht; zijn de respectievelijke massa's m₁ en m₂ dan ondervinden beide een aantrekkende kracht, zwaartekracht of gravitatiekracht geheten, in de richting van het andere object ter grootte van :

F_z=G\frac

, waarin G de gravitatieconstante is (6,67·10^-11Nm²/kg²) en r de afstand tussen de beide objecten. Hierin wordt uiteraard uitgegaan van puntvormige objecten (zonder inhoud). Voor niet-puntvormige objecten moet een integraal worden opgesteld om de totale kracht als gevolg van zwaartekracht te berekenen.

Trage massa

Isaac Newton heeft een andere opvallende eigenschap van massa beschreven, namelijk de traagheid. (Overigens was het dezelfde Isaac Newton die ook de zwaartekrachtswet opstelde.) Traagheid betekent dat een materieel voorwerp moeilijk op gang te brengen is en ook dat het, eenmaal in beweging, de neiging heeft voort te gaan en dus moeilijk te stoppen is. Naarmate het effect sterker is, zegt men dat het voorwerp meer (trage) massa heeft. Experimenteel blijkt dat naarmate een voorwerp zwaarder is, dus een grotere zware massa heeft, het ook trager is, dus meer trage massa heeft. Uit metingen stelt men vast dat zware en trage massa rechtevenredig zijn, en dus bij afspraak aan elkaar gelijk gesteld kunnen worden. Treinen illustreren het principe zeer goed, omdat zij door hun grote trage massa zowel langzaam optrekken, als ook een hele lange remweg hebben. In formulevorm betekent het dat :

F=m\cdot a

In deze betekent:
- F de kracht,
- m de massa,
- a de versnelling. Deze formule drukt uit dat een kracht die uitgeoefend wordt op een voorwerp, niet direct de plaats daarvan beïnvloedt, maar de snelheid doet veranderen; deze snelheidsverandering is de versnelling a. Zo veroorzaakt de kracht van de remmen van een trein een versnelling (in richting tegengesteld aan de snelheid van de trein), waardoor de trein langzamer gaat rijden, en uiteindelijk misschien ook wel tot stilstand komt.

Massa en Energie

Voor Albert Einstein zijn relativiteitstheorie formuleerde, werden massa en energie als twee verschillende grootheden beschouwd. De beroemde formule E = mc² laat zien dat het in wezen om dezelfde grootheid gaat. Omdat c staat voor de lichtsnelheid is een klein beetje massa gelijk aan een grote hoeveelheid energie. Het is echter niet zo eenvoudig om massa te laten verdwijnen en er energie voor in de plaats te krijgen. Dat is wel mogelijk in bijvoorbeeld de annihilatiereactie tussen een deeltje en zijn anti-deeltje, bijvoorbeeld een elektron en een positron. Ook bij kernreacties waar twee kernen tot één versmelten (kernfusie) is de massa van het eindproduct (een beetje) kleiner dan de oorspronkelijke kernen. Daarbij komt een grote hoeveelheid energie vrij, maar het merendeel van de massa blijft gewoon massa. Het is bij zo'n reactie namelijk niet mogelijk om het baryongetal te veranderen en dat verbod verhindert de omzetting van het merendeel van de massa in energie. Kernfusie vindt op grote schaal plaats in de zon en in andere sterren. Dat betekent dat de zon langzamerhand massa verliest.

Massa en gewicht

Deze beide termen worden vaak door elkaar gehaald. Er is echter een wezenlijk verschil: gewicht is de kracht die een ondersteuning op een massa uitoefent. Gewicht is afhankelijk van de plaats waar een voorwerp zich bevindt en van zijn snelheidsverandering. Dit wordt duidelijk aan de hand van een voorbeeld: Stel je staat op een weegschaal. Doordat de Aarde je naar beneden trekt, duw jij met een bepaalde kracht de veer van de schaal in. Deze veer duwt even hard terug, waardoor jij niet verder naar beneden zakt. De kracht waarmee deze veer terugduwt is afhankelijk van zijn vervorming en deze wordt via een vaste, in het apparaat ingebouwde formule omgerekend in het aantal kg waaruit je bestaat. Deze formule is overal op Aarde een beetje anders. Als je netjes stilstaat en je gebruikt de weegschaal, die geijkt is op de plaats waar je er op staat geeft de weegschaal keurig je massa aan, omdat hij het goed uitrekent. Maar als je gaat springen, of je zakt even door je knieën, dan maakt deze machine allemaal fouten. Dat komt omdat hij eigenlijk een kracht meet en geen massa. Stel even dat je de weegschaal onder je voeten plakt en je springt ermee van een tafel. Hoeveel geeft de weegschaal dan aan terwijl je valt? Alles in een zwaartekrachtsveld valt even snel als het niet gehinderd wordt door wrijving met een atmosfeer. De weegschaal valt dus even snel als jij naar beneden en je kunt geen kracht meer op de weegschaal uitoefenen. De weegschaal geeft dus 0 kg aan, omdat hij geen kracht meer meet. Je bent gewichtsloos. sterren Een astronaut die in een satelliet rond de Aarde draait, valt eigenlijk naar de Aarde toe. Doordat de satelliet snel genoeg beweegt valt hij niet op de Aarde, maar blijft hij er omheen draaien. Alles in de satelliet valt even snel en de astronaut kan geen kracht op iets uitoefenen waarop hij probeert te staan. Een weegschaal meet geen kracht en hij geeft geen gewicht aan. De astronaut en al het andere in de satelliet zijn dan gewichtsloos. Als de astronaut op de Maan landt en daar zijn weegschaal neerzet, zal hij wel een kracht uitoefenen op de weegschaal. De Maan trekt echter minder hard aan hem dan de Aarde zou doen, dus duwt de weegschaal ook minder hard terug. Hij weegt minder. In feite geeft de weegschaal 1/6 aan van de massa op Aarde. Dat komt natuurlijk, omdat hij een verkeerd sommetje uitrekent. Hij zou de gemeten kracht door 1,6 moeten delen, maar hij deelt het nog door 9,8. Als de weegschaal gewoon newton zou gebruiken, dan zou het allemaal kloppen. Hij zou de kracht aangeven, die de veer op de massa uitoefent die er op ligt en dat is het gewicht. De vraag waar je een kogel van 6 kg het liefst op je tenen laat vallen is dus vrij snel beantwoord. Maar veronderstel even dat ik hem naar je hoofd gooi - op Aarde, de Maan of onderweg. Dan zal hij overal ongeveer even hard aankomen (iets harder op de Maan omdat hij niet geremd wordt door lucht). Dit is omdat de massa van onze bal overal in het heelal gelijk blijft. Het gewicht daarentegen verandert naargelang de plaats waar men zich bevindt, omdat gewicht slechts het resultaat is van de aantrekkingskracht tussen 2 massa's, afhankelijk van hun onderlinge afstand en hun bewegingsverandering. Dus het gewicht is lager op de Maan omdat de massa van de Maan kleiner is dan de massa van de Aarde. Bijgevolg is de aantrekkingskracht op onze bal kleiner, dus ook het gewicht. Ook op Aarde verandert het gewicht, naargelang de plaats waar men zich bevindt en hoe men beweegt. Boven op een berg is hij lichter dan bij de zee, aan de evenaar lichter dan aan de polen, omdat de afstand tot het middelpunt van de Aarde het laagst is aan de polen en aan zee en omdat je op de evenaar een beetje van de Aarde afgeslingerd wordt. De massa blijft echter overal dezelfde. De aardbewoners hebben de massa gedefinieerd als de kg die in Sèvres in Frankrijk bewaard wordt onder een luchtdichte stolp. Als je die op je weegschaaltje zet moet hij 1 kg aangeven. Je kunt dan je weegschaal zo afstellen, dat hij precies het goede sommetje uitrekent, maar dan moet je die weegschaal niet verplaatsen en tijdens het wegen mag de massa erop niet van snelheid veranderen. Categorie:Mechanica ja:質量 ko:질량 ms:Jisim simple:Mass th:มวล

Klassieke mechanica

De klassieke mechanica, ook wel Newtonse mechanica genoemd, is de mechanica zoals geformuleerd door Isaac Newton en waarop later is voortgebouwd door onder anderen Joseph-Louis Lagrange en William Rowan Hamilton. Ze is van toepassing in 'alledaagse' situaties waarin geen sprake is van zeer grote snelheden of massa's, en waarin het gedrag van de materie op zeer kleine schaal te verwaarlozen is. De gebieden van de mechanica die in deze situaties van toepassing zijn, zijn respectievelijk de relativiteitstheorie en de kwantummechanica. Zie het artikel over mechanica voor een samenvatting van de geschiedenis van de klassieke mechanica.

Invalshoeken van de mechanica

Bij de bestudering van de mechanica, kunnen we 3 verschillende invalshoeken onderscheiden:
- Kinematica
- Statica
- Dynamica

Kinematica

De kinematica bestudeert de beweging van lichamen. Het gaat om de plaats en snelheid van het lichaam in ruimte en tijd, en de veranderingen daarin. Er wordt onderscheid gemaakt in verschillende soorten beweging:
- Eenparige beweging: het lichaam beweegt met constante snelheid
- Eenparig versnelde beweging: het lichaam ondergaat een constante versnelling
- Niet-eenparige beweging: de snelheid verandert, de versnelling is niet constant De kinematica houdt zich niet bezig met de oorzaak van de beweging, en de veranderingen die in bewegingen kunnen optreden: dat is het terrein van de dynamica.

Dynamica

De dynamica bestudeert de werking van krachten op lichamen, en de invloed die deze krachten hebben op de beweging van het lichaam. Tot het onderzoeksgebied van de dynamica horen bijvoorbeeld:
- impuls of stoot
- botsing
- massa-veersystemen

Statica

Het evenwicht tussen krachten is het gebied van de statica. De statica onderzoekt bijvoorbeeld het krachtenspel in een brug, een gebouw, of een hijskraan.

Basisbegrippen

Plaats, snelheid en versnelling

De ruimte die door de klassieke mechanica beschreven wordt is de driedimensionale Euclidische ruimte. Met 'driedimensionaal' wordt bedoeld dat drie coördinaten nodig en voldoende zijn om een willekeurige locatie aan te geven; met 'Euclidisch' wordt bedoeld dat de ruimte 'vlak' is, dat wil zeggen dat ze niet, zoals in de algemene relativiteitstheorie, gekromd is. Het symbool x, een vector met drie componenten, wordt gebruikt om een positie aan te duiden. Verder is er sprake van een tijd, aangegeven met het symbool t, die voor alle waarnemers op dezelfde manier verloopt, onafhankelijk van hun snelheid of positie in de ruimte. De snelheid v van een voorwerp is de mate waarin zijn positie in de loop van de tijd verandert. Preciezer gezegd: de snelheid is de afgeleide van de positie naar de tijd, :

\mathbf=\frac.

De mate waarin de snelheid in de loop van de tijd verandert wordt de versnelling genoemd en aangegeven met het symbool a. De versnelling is gedefinieerd als :

\mathbf=\frac.

Massa, kracht en impuls

Alle voorwerpen hebben een massa, die meestal aangegeven wordt met m. De massa van een voorwerp is een maat voor de kracht die nodig is om het voorwerp een bepaalde versnelling te geven. Kracht, massa en snelheid zijn gerelateerd volgens de tweede wet van Newton: :

\mathbf=\frac(m\mathbf).

In het vaak voorkomende geval dat de massa onafhankelijk is van de tijd kunnen we de tweede wet van Newton ook schrijven als :

\mathbf=m\mathbf.

De massa is overigens niet altijd onafhankelijk van de tijd; bij de lancering van een raket verliest de raket massa door de verbranding van brandstof. In zo'n geval kan de vereenvoudigde formule

\mathbf=m\mathbf

niet gebruikt worden. De grootheid

m\mathbf

wordt de impuls genoemd en geschreven als p. Een derde manier om de tweede wet van Newton te schrijven is dus :

\mathbf=\frac.

Arbeid en energie

Wanneer een voorwerp door een kracht beïnvloed wordt, verandert niet alleen de impuls maar (meestal) ook de energie van het voorwerp. De energie E is de som van kinetische energie

E_

en potentiële energie

E_

: :

E=E_+E_.

De kinetische energie, ook wel bewegingsenergie genoemd, is gedefinieerd als :

E_=\fracmv^2

met m de massa en v de grootte van de snelheid (soms vaart genoemd). De potentiële energie is het deel van de energie dat afhangt van de positie van het voorwerp. Zo zijn er bijvoorbeeld zwaarte-energie

E_=mgh

, met g de zwaartekrachtsversnelling, en veerenergie

E_=\fracCu^2

, met C de veerconstante en u de uitwijking van de veer. In tegenstelling tot voor de kinetische energie is er voor de potentiële energie geen algemeen geldende formule. De verandering van de energie van een voorwerp wordt beschreven met behulp van het begrip arbeid, genoteerd als W. Dit is het product van de op het voorwerp werkende kracht vermenigvuldigd met de afstand Δx waarover het voorwerp in de richting van die kracht verplaatst wordt: :

W=\mathbf\cdot\Delta\mathbf.

Als het voorwerp over een traject T wordt verplaatst terwijl de kracht niet overal op dit traject gelijk is, moeten we dit als een integraal schrijven: :

W=\int_T\mathbf(x)\cdot\mathrm\mathbf.

We noemen F een conservatieve kracht als de verrichte arbeid niet afhangt van het gekozen traject, maar alleen van het begin- en eindpunt. Het verband tussen arbeid en energie is :

W=\Delta E,

waarbij

\Delta E=E_-E_

het verschil in energie tussen begin- en eindtoestand is.

Behoudswetten

Een belangrijk begrip in de mechanica (en in de natuurkunde in het algemeen) is dat van een behouden grootheid. De bekendste voorbeelden hiervan zijn behoud van energie en behoud van impuls. In de moderne natuurkunde volgt het behouden zijn van deze grootheden uit bepaalde symmetrieën: als een systeem invariant is onder het toepassen van een continue symmetrie, dan is er een behouden grootheid die geassocieerd is met deze symmetrie. Dit feit staat bekend als de stelling van Noether. De symmetrieën en behouden grootheden die in de klassieke mechanica een rol spelen zijn:
- Invariantie onder translatie in de tijd: energiebehoud.
- Invariantie onder translatie in de ruimte: impulsbehoud.
- Invariantie onder rotaties in de ruimte: behoud van impulsmoment. Deze behoudswetten maken het mogelijk om uitspraken te doen over processen zoals botsingen, waarbij we bijvoorbeeld door de in- en uitgaande energie en impuls gelijk te stellen kunnen berekenen wat de situatie na afloop van het proces is zonder de precieze details van alle interacties te kennen.

Zwaartekracht

(Nog niet af) Zie zwaartekracht Categorie:Mechanica ja:古典力学

Vector (wiskunde)

Een vector is een grootheid die zowel grootte als richting heeft. In de natuurkunde worden vectoren gebruikt om grootheden als snelheid, versnelling, kracht, e.d. weer te geven. In de wiskunde is het begrip vector gegeneraliseerd. Soms spreekt men ook over "gebonden vectoren". Een gebonden vector heeft niet enkel een grootte en een richting, maar ook een aangrijpingspunt. Het aangrijpingspunt is het punt waarin de vector "vertrekt". Vectoren zonder aangrijpingspunt worden in dit verband "vrije vectoren" genoemd. Gebonden vectoren vormen eigenlijk een vectorveld, een afbeelding van een ruimte in een vectorruimte. Aan elk punt van de betrokken ruimte (het aangrijpingspunt) wordt een vector toegevoegd. Deze vector is dus gebonden aan z'n aangrijpingspunt.

Voorstelling van een vector

Om vectoren te onderscheiden van scalaire grootheden, noteert men vectoren wel met een vetgedrukte letter, bijvoorbeeld a of als letter met een pijltje erboven, zoals

\vec

. Dit is echter slechts een kwestie van notatie en heeft op zichzelf geen enkele betekenis. In deze notatieconventie wordt de grootte van de vector (|a| of

|\vec|

) dan aangegeven door een gewone a. Men tekent een vector als een pijl, beginnend in z'n aangrijpingspunt (bij vrije vectoren is dat de oorsprong). :een pijltje dat loopt van P naar Q De vector a wordt dan ook geschreven als

\overrightarrow

. Als de vector a op de tekening een gebonden vector is, is P het aangrijpingspunt van a. De afbeelding stelt een vector in een tweedimensionale ruimte voor. Men kan ook vectoren in ruimtes met andere dimensies beschouwen. Merk op dat men een (vrije) vector op verschillende manieren kan tekenen. Wanneer men op eenzelfde afbeelding verschillende malen dezelfde vector tekent, heeft men verschillende, evenwijdige pijltjes van gelijke lengte die in dezelfde richting wijzen. Twee vectoren zijn gelijk als ze dezelfde grootte en richting hebben. Voor gebonden vectoren komt hier nog de eis bij dat ze hetzelfde aangrijpingspunt moeten hebben. Hierdoor ligt de grafische voorstelling van een gebonden vector volledig vast: men kan niet op één afbeelding twee keer (op een verschillende plaats) dezelfde gebonden vector tekenen. De vectoren a en b op de volgende afbeelding zijn gelijk als het gaat om vrije vectoren, maar verschillend als het gaat om gebonden vectoren, aangezien ze een verschillend aangrijpingspunt hebben. afbeelding:twee_vectoren.png Een vector in een n-dimensionale ruimte kan, na een keuze van een basis van deze ruimte, gerepresenteerd worden door n componenten. Laten we in wat volgt werken in de ruimte van het tweedimensionale Euclidische vlak. Stel dat we als basis van ons vlak de vectoren u₁ en u₂ hebben (omdat we werken met twee dimensies, hebben we ook twee basisvectoren). Dan kan (per definitie van basis) elke vector a geschreven worden als een lineaire combinatie van u₁ en u₂. Dit wil zeggen dat er getallen a₁ en a₂ bestaan zodat a = a₁u₁+a₂u₂. De vectoren a₁u₁ en a₂u₂ heten de componenten van de vector a en de getallen a₁ en a₂ noemt men de coördinaten van a ten opzichte van de basis De volgorde van a₁ en a₂ is belangrijk. In dit geval zijn er twee componenten omdat we in twee dimensies werken. Indien het duidelijk is over welke basis het gaat, vermeldt men vaak de basis niet. Vaak gebruikt men de standaardbasis : e₁ wijst volgens de X-as en heeft lengte 1, e₂ wijst volgens de Y-as en heeft ook lengte 1. Voor andere dimensies is de definitie analoog. In drie dimensies noteert men de standaardbasis met . Soms wordt ook de notatie gebruikt: i wijst volgens de X-as, j volgens de Y-as en k volgens de Z-as, ze hebben alledrie lengte 1. Twee (vrije) vectoren zijn gelijk als en slechts als ze dezelfde componenten hebben. Men schrijft wel (met de a van daarnet): a = (a₁, a₂), of als kolom: afbeelding:vectorvoorstelling_door_matrix.png

Norm

In een vectorruimte met Euclidische norm wordt de norm (de 'lengte') van een n-dimensionale vector v=(v₁, v₂, ..., v_n) gegeven door: :

|\bold|=\sqrt

Bewerkingen met vectoren

Men kan verschillende bewerkingen uitvoeren met vectoren.

Optellen van vectoren

Het optellen van vectoren kan men doen aan de hand van een tekening: Afbeelding:Vectorsom_met_parallellogram.png Om

\vec+\vec

te construeren, tekent men

\vec

\vec

zo, dat de pijltjes die deze vectoren voorstellen in hetzelfde punt vertrekken. Daarna maakt men een parallellogram, zoals op de tekening. Wanneer men dan een pijltje tekent dat begint in het zelfde punt waar

\vec

\vec

beginnen, en dat gaat naar de overliggende hoek van het parallellogram, bekomt men een voorstelling van

\vec+\vec

. Er bestaat ook een andere manier om

\vec+\vec

te construeren (kop-staartmethode): als het pijltje dat

\vec

voorstelt, gaat van P naar Q, teken je

\vec

zo dat het pijltje dat

\vec

voorstelt, begint in Q. Als dan het pijltje dat

\vec

voorstelt, stopt in R, is het pijltje van P naar R een voorstelling van de vector

\vec+\vec

. De volgende afbeelding illustreert dit: afbeelding:Vectorsom_met_driehoek.png Deze tekening illustreert meteen ook de gelijkheid van Chasles-Möbius:

\overrightarrow + \overrightarrow = \overrightarrow

Ook wanneer het niet mogelijk is om vectoren te tekenen, kun je een vectorsom berekenen. Stel dat v=(v₁, v₂) en w = (w₁, w₂). Dan zal v+w = (v₁ + w₁, v₂ + w₂). Wanneer men v en w beschouwt als kolommatrices, kan men gewoon deze matrices optellen om v + w te bekomen.

Verschil van vectoren

b-a is hetzelfde als b + (-a), waarbij -a de vector is met de zelfde grootte als a, maar met tegengestelde richting (zie het voorbeeld van de scalaire vermenigvuldiging).

Vermenigvuldiging van een vector met een scalar

Scalaire vermenigvuldiging mag niet verward worden met het scalair product (zie verder). Om het verschil tussen getallen en vector aan te duiden, noemt men een getal ook wel een "scalar": de componenten van een vector zijn scalaren. Wanneer men een vector a vermenigvuldigt met een scalar k, bekomt men een nieuwe vector ka. De lengte van ka is |k||a|. De richting blijft behouden als k > 0, en wordt omgekeerd als k < 0. De volgende afbeelding illustreert dit: afbeelding:skalaire_vermenigvuldiging.png Hierbij is -a gelijk aan (-1)a. Als a=(a₁, a₂, ..., a_n) ten opzichte van een willekeurige basis, dan zal, ten opzichte van diezelfde basis, ka=(ka₁, ka₂, ..., ka_n).

Inproduct van vectoren

Het inproduct, ook wel inwendig product of scalair product genoemd, van de vectoren a en b is gedefinieerd als:

\bold\cdot\bold = |\bold||\bold|\cos

, waarin

\theta

de hoek tussen a en b voorstelt. Merk op dat het inproduct van twee vectoren een getal, dus een scalar is. Een basis van een vectorruimte, bestaande uit de vectoren e₁, e₂, ..., e_n, wordt orthogonaal genoemd, indien voor

\bold_i \cdot \bold_j = 0

voor i verschillend van j, en

\bold_i \cdot \bold_i = 1

. Als ten opzichte van een orthogonale basis a=(a₁, a₂, ..., a_n) en b=(b₁, b₂, ..., b_n), zal het inproduct van a en b gegeven worden door :

\bold\cdot \bold = a_1b_1 + a_2b_2  + ... +a_nb_n

Omdat de standaardbasis orthogonaal is, kan men deze formule gebruiken wanneer men werkt ten opzichte van deze basis. Als twee vectoren loodrecht op elkaar staan, is het inwendig product gelijk aan 0.

Vectorproduct

Het vectorproduct, ook vectorieel product, uitproduct of uitwendig product genoemd, wordt enkel gedefinieerd in de gewone drie-dimensionale euclidische vectorruimte en meestal genoteerd met

\vec\times\vec

(soms ook wel met

\vec\wedge\vec

of met

\vec\vee\vec

). De volgorde van de vectoren

\vec

\vec

is belangrijk:

\vec\times\vec

is niet steeds hetzelfde als

\vec\times\vec

. Het vectorproduct is een vector loodrecht op beide vectoren met een lengte gelijk aan de oppervlakte van het parallellogram gevormd door de beide vectoren. Er zijn dan nog twee keuzen mogelijk voor de richting. Men kiest derichting volgens de kurkentrekkerregel (ook rechterhandregel genoemd). Stel

\vec

is de eenheidsvector die loodrecht staat op het vlak gevormd door

\vec

\vec

(wanneer we ze tekenen als pijltjes die in hetzelfde punt vertrekken). Een eenheidsvector is een vector met lengte 1. Omdat er twee eenheidsvectoren zijn die loodrecht op dit vlak staan, moeten we een keuze maken. Meestal kiest men, als men

\vec\times\vec

wil uitrekenen,

\vec

zo dat wanneer men de rechterhand zo houdt dat de wijs-, midden-, ringvinger en pink evenwijdig met het vlak van

\vec

\vec

liggen en wijzen van

\vec

naar

\vec

, en de duim evenwijdig met

\vec

. Dan zal

\vec\times\vec=|\vec||\vec||sin(\theta)|\vec

, waarbij

\theta

de hoek is tussen de vectoren

\vec

\vec

. afbeelding:Vectorieel_product.png Uitgedrukt in de coördinaten van

\vec

\vec

luidt het vectorproduct: :

\vec\times\vec=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)

Vectoren in de natuurkunde

In de mechanica wordt een kracht vaak voorgesteld door een vector: de grootte van de vector is de grootte van de kracht, en de richting van de vector is de richting waarin de kracht werkt. Men kan een onderscheid maken tussen "scalaire grootheden" en "vectoriële grootheden". Het verschil is dat een scalaire grootheid geen richting heeft, en een vectoriële grootheid wel. Voorbeelden van scalaire grootheden uit de natuurkunde zijn: massa, volume en temperatuur. Voorbeelden van vectoriële grootheden zijn:
- kracht
- snelheid, impuls en versnelling
- impulsmoment
- elektrische stroom (vaak wordt echter hiervan alleen de grootte aangegeven). In de natuurkunde bestaan ook vectorvelden. Dit zijn velden in de ruimte, waar in elk punt een vector staat die een verschillende grootte, maar ook een verschillende richting kan hebben. Voorbeelden zijn:
- zwaartekrachtveld
- magneetveld
- elektrisch veld

Vectoren in de wiskunde

In de context van de lineaire algebra is een vector een element van een vectorruimte. In deze context hebben vectoren niet steeds een grootte en een richting. Voorbeelden van vectoren zonder grootte en richting zijn vectoren uit een vectorruimte over een eindig lichaam (Ned) / eindig veld (Be) of over het lichaam (Nederlandse term; in België: veld) van de complexe getallen. Het is ook moeilijk om van deze vectoren een tekening te maken. Merk op dat vectoren zoals ze gebruikt worden in de natuurkunde, ook elementen zijn van een vectorruimte en dus ook vectoren zijn in de context van de lineaire algebra.

Zie ook

- Rijvector
- Kolomvector Categorie:Meetkunde Categorie:Lineaire algebra ja:ベクトル (数学) ko:벡터

SI

SI (afkorting van Système International) is het in 1960 ingevoerde internationale systeem van eenheden. Het systeem is opgebouwd rond een aantal basiseenheden, die in combinatie met elkaar afgeleide SI-eenheden vormen. Door deze samenhang wordt het gebruik van constanten bij het omrekenen van bijvoorbeeld lengte, breedte en hoogte naar oppervlakte en gewicht zo veel mogelijk beperkt. In 1978 werd het gebruik van dit stelsel in beroep en handel wettelijk verplicht gesteld door de IJkwet.

SI-basiseenheden

De zeven, onderling onafhankelijke basiseenheden zijn:

Afgeleide SI-eenheden

Van deze basiseenheden zijn afgeleide eenheden gemaakt, zoals m² (vierkante meter) voor oppervlakte, of hertz, gedefinieerd als s^-1. Zie ook natuurkundige grootheden en eenheden.

SI-prefixen (vermenigvuldigingsfactoren)

Naast de SI-eenheden zijn er ook de SI-voorvoegsels of -prefixen, als volgt gedefinieerd: In de landen van de Europese Unie is het gebruik van het SI als enig toegestane stelsel wettelijk verplicht. Het Bureau International des Poids et Mesures in Frankrijk geeft Engelstalige informatie op http://www.bipm.fr/enus/3_SI/si.html.

Zie ook

- :Categorie:Niet-SI-eenheid
- :Categorie:Van SI afgeleide eenheid Categorie:SI-eenheid ja:国際単位系 ko:SI 단위계 simple:SI th:หน่วยเอสไอ

Behoudswet

Categorie:Natuurkunde De term behoudswet is een begrip uit de klassieke natuurkunde en uit de scheikunde. Met een behoudswet wordt uitgedrukt dat een aantal eigenschappen van een systeem constant zijn als er geen externe factoren een rol spelen. Een behoudswet is het gevolg van een symmetrie. Behoud van impuls is het gevolg van translatiesymmetrie. Behoud van energie is het gevolg van symmetrie onder tijdverschuiving. En behoud van impulsmoment is het gevolg van rotatiesymmetrie. De perkenwet van Kepler, d.w.z. behoud van impulsmoment, wordt veroorzaakt door het feit dat de aantrekkende kracht van de zon alleen van de afstand afhankelijk is, d.w.z. er is bolsymmetrie. In de kwantummechanica is dit te zien aan de operatoren: impuls en energie zijn partiële afgeleiden naar positie, resp. tijd. Het verband tussen symmetrie en behouden grootheid wordt uitgedrukt in het theorema van Noether. De wetten worden vaak gebruikt om allerlei problemen in de natuurkunde op te lossen, vooral bij botsende objecten, maar ook in de astronomie (ronddraaiende planeten rondom de zon bijvoorbeeld). Onderstaand een beknopt overzicht:
- Wet van behoud van energie, ook wel Eerste wet van de thermodynamica
- Wet van behoud van impuls
- Wet van behoud van impulsmoment
- Wet van behoud van massa
- Wet van behoud van lading
- De kernfysica kent nog enkele behoudswetten, die we als vuistregels kunnen zien om de mogelijkheid of onmogelijkheid van bepaalde reacties te verklaren In de moderne, relativistische en kwantummechanische natuurkunde zijn deze behoudswetten aangepast. Zo laat de beroemde formule van Einstein zien dat massa en energie met elkaar in verband staan via de relatie: :

E = m c^2

. Er geldt daarom in de relativistische mechanica geen behoud van massa meer. Energiebehoud geldt nog wel, als massa ook als vorm van energie wordt gezien. ja:保存則 th:กฎการอนุรักษ์

Tijd

Tijd kan na hoogte, breedte en lengte gezien worden als de vierde dimensie. Van een gebeurtenis kan gezegd worden dat deze na een andere gebeurtenis plaatsvindt. Een gebeurtenis vindt plaats op een tijdstip. De tijd wordt wel gezien als een opeenvolging van tijdstippen. Daarnaast kan bepaald worden hoe lang een gebeurtenis na een andere plaatsvindt. Het betreft dan de tijdsduur tussen twee tijdstippen. Tijd is het begrip waarmee deze volgorde en duur worden beschreven. Tijd volgt uit het axioma van (of ligt zelf als axioma ten grondslag aan) oorzakelijkheid. Dat wil zeggen dat we tijd alleen kunnen definiëren als we het bestaan van oorzakelijkheid erkennen, of andersom, dat oorzakelijkheid alleen in termen van tijd kan worden gedefinieerd. In de filosofie en taalwetenschap, met name de semantiek, worden tijdslogica's onderzocht. Dit zijn formele logische systemen die het begrip tijd formaliseren.

Eenheden van tijd

Tijd is meetbaar en wordt gemeten in eenheden door middel van een klok. De internationaal vastgelegde SI-eenheid is de seconde. Zie de Lijst van eenheden van tijd voor andere eenheden.

Relativiteit

De ontwikkeling van de Speciale Relativiteitstheorie door Albert Einstein in het begin van de 20e eeuw heeft het absolute begrip van tijd, zoals wij dat in het dagelijks leven ervaren, naar de prullenbak verwezen. Uit twee postulaten leidde Einstein af dat tijd zich niet zo absoluut gedraagt als men dacht. Van twee gebeurtenissen, a en b, is dan niet absoluut te zeggen of a voor, gelijktijdig of na b heeft plaatsgevonden. De ene waarnemer zal eerst a waarnemen en dan b, een andere eerst b en dan a. Het volledig doorgronden van Einsteins theorie is erg moeilijk, doordat begrippen als gelijktijdigheid en 'tijdsvolgorde' op zo'n intuitieve manier begrepen worden dat daar moeilijk van afgeweken kan worden.

Symboliek

De tijd wordt vaak gepersonificeerd als een oude man met baard en een zeis in zijn hand. Dit is een verwijzing naar de oude Griekse god Chronos.

Zie ook

- Klok
- Real-time
- Slingertijd
- Tijdzone (voor een overzicht van alle tijdzones) Categorie:Tijd ja:時間 ko:시간 simple:Time

Albert Einstein

Inleiding

De joods-Duits-Zwitserse Amerikaan Albert Einstein (Ulm, 14 maart 1879 - Princeton, 18 april 1955) was een theoretisch natuurkundige, met aanzienlijke talenten in de toegepaste wiskunde. Hij wordt algemeen gezien als een van de belangrijkste natuurkundigen uit de geschiedenis en werd vooral bekend vanwege de speciale relativiteitstheorie in 1905, en de formulering van de algemene relativiteitstheorie (1915). De algemene relativiteitstheorie breidt de speciale relativiteitstheorie uit door ook de zwaartekracht aan de theorie toe te voegen. De formule waarmee velen het werk van Einstein samenvatten luidt: :

E = mc^2 \!

waarmee tussen massa en energie een nieuw verband werd gelegd. Andere onderwerpen waar hij zich mee bezighield waren de kwantummechanica, de statistische mechanica en de kosmologie. Albert Einstein werd in een joodse familie in Duitsland geboren. In 1933 vluchtte hij naar de Verenigde Staten, waar hij de Amerikaanse nationaliteit aannam en afstand deed van zijn Duitse nationaliteit (hij behield wel de Zwitserse). Einstein ontving in 1921 de Nobelprijs voor de Natuurkunde voor zijn werk aan het foto-elektrisch effect "en andere bijdragen aan de theoretische natuurkunde". In het dagelijks leven is de naam Einstein synoniem met grote intelligentie, en het gezicht van Einstein is een van de best herkende gezichten ter wereld. Ter ere van Einstein is een eenheid in de fotochemie naar hem genoemd. Een einstein is gelijk aan het getal van Avogadro maal de energie van een foton voor licht. Het chemisch element einsteinium is ook naar hem genoemd.

Biografie

Einsteins vroege leven

Albert Einstein werd geboren te Ulm, Duitsland. Zijn vader, Hermann Einstein, was beddenverkoper. Alberts ouders waren liberale joden en hij kreeg in zijn jeugd lessen in de joodse religie en leerde viool spelen. Rond 1884 kreeg Einstein zijn eerste kompas. Een anekdote verhaalt dat hij door dit instrument zo gefascineerd werd dat hij toen besloot om zijn leven aan het onderzoeken en verklaren van de natuurverschijnselen te wijden. Hij leerde zichzelf zoveel wetenschap als hij kon. Hij bouwde modellen en mechanische apparaten als hobby. Vanaf 1891 leerde hij ook wiskunde. wiskunde In 1894 verhuisde het gezin naar Pavia, Italië; Albert bleef in München achter om zijn school af te maken, maar verliet deze na één trimester, en vertrok toen om zich bij de familie aan te sluiten. In 1895 deed Albert toelatingsexamen voor de ETH, de Eidgenössische Technische Hochschule (de Zwitserse technische universiteit), maar zakte op de kunstvakken. Zijn familie stuurde hem naar Aarau in Zwitserland om de middelbare school af te ronden. In 1896 ontving Einstein zijn diploma, waarna hij alsnog naar de Eidgenössische Technische Hochschule in Zürich ging. In hetzelfde jaar gaf Einstein zijn Duitse staatsburgerschap op, daarmee werd hij statenloos. In 1900 behaalde Einstein het leraarsdiploma van de Eidgenössische Technische Hochschule. Hij kreeg het Zwitsers staatsburgerschap in 1901.

Familieleven van Einstein

Aan de ETH in Zwitserland ontmoette Einstein Mileva Maric, een Servische klasgenote (die ook bevriend was met Nikola Tesla), en werd verliefd op haar. Einstein en Maric hadden al snel een buitenechtelijke dochter, Liserl, geboren in januari 1902. Einstein trouwde met Mileva Maric op 6 januari 1903. Het huwelijk was zowel een persoonlijk als een intellectueel partnerschap. Einstein noemde Mileva "een schepsel dat mijn gelijke is, en dat net zo sterk en onafhankelijk is als ikzelf". Toen hij afstudeerde kon Albert Einstein geen werk als leraar vinden. Daarom zocht hij ander werk, en vond een baan als technisch assistent bij het Zwitserse patentbureau. Daar beoordeelde hij de waarde van ingediende patenten, corrigeerde de ontwerpfouten, en beoordeelde de toepasbaarheid van het werk. Op 14 mei 1904 werd hun eerste zoon Hans Albert Einstein geboren. In hetzelfde jaar werd zijn aanstelling bij het patentkantoor permanent. In 1906 promoveerde Einstein tot technisch controleur tweede klasse. Einsteins tweede zoon, Eduard, werd geboren op 28 juli 1910. Behalve zijn fascinatie voor natuurkunde had Einstein ook oog voor het vrouwelijk schoon om hem heen. En andersom deed de knappe verschijning van de jonge Einstein vrouwenharten ook sneller slaan. Er deden van tijd tot tijd geruchten de ronde dat Albert niet altijd even trouw was aan zijn vrouw. Aan zijn kinderen besteedde hij weinig aandacht. Dezen wilden dan ook later niet veel met hem te maken hebben zoals zijn zoon Hans Albert Einstein wel eens verteld heeft. Einstein was dus niet altijd de hoog verheven heilige zoals het grote publiek hem graag zag maar had ook algemeen menselijke fouten. heilige Einstein scheidde van Mileva op 14 februari 1919, en huwde zijn nicht Elsa Löwenthal (geboren Einstein: Löwenthal was de achternaam van haar eerste man Max) op 2 juni 1919. Er werden geen kinderen uit dit huwelijk geboren. Het lot van het eerste kind van Albert en Mileva, Lieserl, is vreemd genoeg onbekend: sommigen denken dat zij jong gestorven is, anderen geloven dat ze voor adoptie werd afgestaan. Eduard Einstein bleek schizofrenie te hebben. Albert Einstein negeerde hem volkomen en zijn moeder zorgde voor Eduard tot haar overlijden in 1948. Hij stierf in 1965 in een inrichting. Hans Albert werd hoogleraar hydraulische werktuigkunde aan de Universiteit van Californië, Berkeley, en had eveneens weinig contact met zijn vader. Hij adopteerde voorts een meisje, Evelyn, van wie beweerd wordt dat zij een dochter van Einstein was uit een korte relatie op latere leeftijd met een danseres, een adoptie die om andere redenen moeilijk te verklaren zou zijn. Volgens sommige biografen zou Einstein een mildere vorm van autisme, hoogstwaarschijnlijk asperger, hebben gehad, wat gedeeltelijk zijn "kille" gedrag betreffende zijn familie kan verklaren.

De eerste wetenschappelijke artikelen

In 1905 promoveerde Einstein op het proefschrift Eine neue Bestimmung der Moleküldimensionen. Ook schreef hij in dat jaar vier artikelen die de basis van de moderne natuurkunde zouden vormen, zonder veel wetenschappelijke literatuur te kunnen raadplegen of zijn theorieën te kunnen bespreken met veel wetenschappelijke collega's. Einstein discussieerde over zijn wetenschappelijke resultaten hoofdzakelijk met zijn vrouw Mileva Maric, zelf een begaafd wiskundige, en zijn vrienden die hij van zijn studietijd en werk kende. Zijn artikelen stuurde hij naar het tijdschrift Annalen der Physik. Algemeen wordt 1905 als het vruchtbaarste jaar in Einsteins wetenschappelijke leven beschouwd. De meeste natuurkundigen zijn het erover eens dat drie van deze artikelen (over de Brownse beweging, het foto-elektrisch effect, en de speciale relativiteitstheorie) elk een Nobelprijs waard zouden zijn. Het foto-elektrisch effect zou er inderdaad een winnen. Ironisch, omdat Einstein uiteindelijk veel bekender is geworden door zijn relativiteitstheorie, en omdat het foto-elektrisch effect gebaseerd is op kwantummechanische principes, en Einstein altijd een onbevredigd gevoel bleef houden over sommige verstrekkende gevolgtrekkingen van deze kwantumtheorie. Voor elk van deze artikelen nam Einstein de gewaagde stap om een al bestaand idee uit de theoretische natuurkunde tot zijn logische consequenties uit te werken, en daarmee experimentele resultaten te verklaren waarover wetenschappers zich al tientallen jaren verbaasden.

Foto-elektrisch effect

Zijn eerste artikel in 1905, getiteld Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt (De productie en de omzetting van licht vanuit heuristisch gezichtspunt), introduceerde het begrip energiekwantum (tegenwoordig foton genoemd) en toonde aan hoe dit begrip gebruikt kon worden om verschijnselen als het foto-elektrisch effect te verklaren. Het idee van energiekwanta was gemotiveerd door de eerder door Max Planck afgeleide stralingswet voor een zwart lichaam, door te veronderstellen dat lichtenergie alleen geabsorbeerd of uitgezonden kan worden in discrete hoeveelheden, kwanta genaamd. Albert Einstein toonde aan dat het mysterieuze foto-elektrische effect verklaard kan worden door aan te nemen dat licht werkelijk opgebouwd is uit discrete pakketjes. Het idee van lichtkwanta was in tegenspraak met de golftheorie van het licht, die volgt uit de vergelijkingen van Maxwell voor elektromagnetisch gedrag, en meer algemeen met de aanname dat energie in fysische systemen oneindig deelbaar is. Zelfs nadat experimenten aantoonden dat de vergelijkingen van Einstein voor het foto-elektrisch effect correct waren, werd zijn uitleg niet algemeen aanvaard. In 1921 echter, toen hij de Nobelprijs kreeg en zijn werk over foto-elektriciteit hierbij geciteerd werd, namen sommige natuurkundigen aan dat de vergelijking (hf = Φ + E_k) correct was en dat lichtkwanta mogelijk waren. De theorie van lichtkwanta vormde een sterke aanwijzing voor de dualiteit van golven en deeltjes. Dit concept, dat door de grondleggers van de kwantummechanica gebruikt wordt als een fundamenteel principe, betekent dat fysische systemen eigenschappen van zowel golven als deeltjes kunnen vertonen. Een volledig beeld van het foto-elektrisch effect werd pas later verkregen na verdere ontwikkeling van de kwantummechanica.

Brownse beweging

Het tweede artikel in 1905 was getiteld Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen (Over de beweging van deeltjes in suspensie in vloeistoffen in rust, zoals de moleculair-kinetische theorie der warmte vereist), en ging over zijn studie van de Brownse beweging. Door gebruik te maken van de toen nog controversiële kinetische theorie van vloeistoffen stelde hij dat het fenomeen (dat tientallen jaren na de eerste waarneming nog niet verklaard was) een empirisch bewijs vormde voor het bestaan van atomen. Het artikel verleende ook geloofwaardigheid aan de statistische mechanica, die toen ook nog controversieel was. Vóór het verschijnen van dit artikel was het atoom al erkend als een nuttig concept, maar natuur- en scheikundigen waren het niet eens of atomen wel echt bestonden. Door Einsteins statistische discussie over het gedrag van atomen was er nu een manier om met een gewone microscoop atomen te tellen. Wilhelm Ostwald, een van de voortrekkers van de anti-atoomschool, vertelde Arnold Sommerfeld later dat hij uiteindelijk in het atoom begon te geloven door Einsteins volledige verklaring van de Brownse beweging.

Speciale relativiteit

Einsteins derde artikel in 1905 was getiteld Zur Elektrodynamik bewegter Körper (Over de elektrodynamica van lichamen in beweging), en werd gepubliceerd op 30 juni 1905. Terwijl hij dit artikel uitwerkte schreef Albert Einstein aan Mileva over "ons werk over relatieve beweging", en dit heeft de vraag doen rijzen of Mileva een rol gespeeld heeft in de ontwikkeling ervan. Het artikel introduceerde de speciale relativiteitstheorie, een theorie over tijd, afstand, massa en energie die consistent was met het elektromagnetisme, maar die de zwaartekracht buiten beschouwing liet. Speciale relativiteit bood een oplossing voor het probleem dat gerezen was sinds het Michelson-Morley-experiment. Dit experiment had aangetoond dat lichtgolven zich niet door een medium (de ether) bewegen zoals andere golven door bijvoorbeeld water of lucht. De snelheid van het licht was daardoor vast en niet relatief ten opzichte van de beweging van de waarnemer. Dit was onmogelijk volgens de Newtonse klassieke mechanica. George Fitzgerald had in 1894 al verondersteld dat het resultaat van Michelson en Morley verklaard kon worden indien bewegende lichamen samengedrukt werden in de richting van hun beweging. Enkele belangrijke vergelijkingen in Einsteins artikel, de Lorentztransformaties, waren inderdaad al in 1903 geïntroduceerd door de Nederlandse natuurkundige Hendrik Lorentz, en waren een wiskundige uitdrukking van Fitzgeralds vermoeden. Einstein verklaarde echter de onderliggende oorzaken van deze geometrische eigenaardigheid. Zijn uitleg volgde uit de aanname van twee axioma's:
- Galilei's oude idee dat de natuurwetten dezelfde zouden moeten zijn voor alle waarnemers die met een constante snelheid ten opzichte van elkaar bewegen,
- de regel dat de lichtsnelheid dezelfde is voor iedere waarnemer. De speciale relativiteit heeft diverse verrassende gevolgen, omdat de absoluutheid van tijd en afstand niet meer geldt. De theorie wordt de "speciale relativiteitstheorie" genoemd om haar te onderscheiden van de latere "algemene relativiteitstheorie", waarin alle waarnemers gelijkwaardig zijn. De theorie lijkt in strijd met het gezonde verstand en zit vol schijnbare paradoxen, maar Einstein slaagde erin deze allemaal op te lossen, en de theorie is sindsdien door vele experimenten bevestigd.

Tussenjaren

In 1908 werd Einstein in Bern (Zwitserland) benoemd tot privaatdocent (onbezoldigd docent aan een universiteit). In 1911 werd Einstein eerst assistent-hoogleraar aan de Universiteit van Zürich, en kort daarna volledig hoogleraar aan de (Duitse) Universiteit van Praag. Het jaar daarna ging hij terug naar Zürich om volledig hoogleraar aan de ETH Zürich te worden. Op dat moment werkte hij nauw samen met de wiskundige Marcel Grossman. In 1912 begon Einstein tijd als de vierde dimensie aan te duiden. In 1914 werd Einstein lid van de Pruisische Academie van Wetenschappen in Berlijn. Het jaar daarop kreeg hij zijn Duitse nationaliteit terug, en was tot 1933 directeur van het Keizer Wilhelm-Instituut voor Natuurkunde in Berlijn. In deze periode kreeg hij ook de Nobelprijs en deed zijn opzienbarendste ontdekkingen. Daarnaast was hij bijzonder hoogleraar aan de Rijksuniversiteit Leiden (Nederland) van 1920 tot officieel 1946: hij gaf enkele malen per jaar een gastcollege in Leiden.

Algemene relativiteit

In november 1915 gaf Einstein een reeks lezingen voor de Pruisische Academie van Wetenschappen, waarin hij zijn algemene relativiteitstheorie beschreef, een verdere uitwerking van zijn speciale relativiteitstheorie. De laatste lezing had als hoogtepunt de introductie van een vergelijking die de wet van de zwaartekracht van Newton verving. Hierin wordt gesteld dat alle waarnemers gelijkwaardig zijn, niet alleen waarnemers met een eenparige beweging. In de algemene relativiteitstheorie is de zwaartekracht niet langer een kracht (zoals in de wet van Newton, maar een gevolg van de kromming van ruimte-tijd. Deze theorie vormde de grondslag voor de studie van de kosmologie en gaf wetenschappers de middelen om vele eigenschappen van het heelal te begrijpen, ook een aantal die pas na Einsteins dood ontdekt werden.
De algemene relativiteitstheorie was revolutionair, en heeft tot nu toe elke experimentele toets doorstaan. Oorspronkelijk waren veel wetenschappers erg sceptisch omdat de theorie uit een wiskundige redenering en een rationele analyse ontstond, en niet uit waarneming en experimenten. In 1919 echter konden voorspellingen die met behulp van de theorie gedaan waren bevestigd worden door metingen van Arthur Eddington (tijdens een zonsverduistering). Hierbij werd de afbuiging van licht van een ster door de zwaartekracht van de zon gemeten. Op 7 november bracht de Times deze bevestiging van Einsteins theorie op de voorpagina, waarmee Einstein op slag beroemd werd. Vele wetenschappers waren nog niet overtuigd om allerlei redenen, van onenigheid met Einsteins interpretatie van de experimenten tot het niet kunnen aanvaarden van de afwezigheid van een absoluut referentiekader. Sommigen stonden ook afkeurend tegenover de publieke faam die Einstein te beurt viel na het artikel in 1919, en dit duurde nog tot in de jaren '30. In de vroege jaren '20 was Einstein de leidende figuur op de beroemde wekelijkse natuurkundecolloquia aan de Universiteit van Berlijn. Op 30 maart 1921 bezocht Einstein New York om een lezing over zijn nieuwe theorie te geven. In dat jaar kreeg hij ook de Nobelprijs. Hoewel hij het bekendst is geworden door zijn werk aan de relativiteitstheorie, kreeg hij de Nobelprijs voor zijn eerdere werk aan het foto-elektrisch effect. Zijn relativiteitstheorie was op dat moment nog niet algemeen geaccepteerd. In 1922 scheepten Einstein en zijn vrouw Elsa zich in op de Kitano Maru voor een reis naar Japan. Ze deden daarbij ook Singapore, Hongkong en Sjanghai aan.

De Kopenhaagse interpretatie

Einsteins verhouding tot de kwantumfysica was opmerkelijk. Hij was de eerste om te zeggen dat de kwantumtheorie revolutionair was. Zijn eigen idee over lichtkwanta, die we nu fotonen noemen, was een mijlpaal in de breuk met de klassieke fysica. In 1909 presenteerde Einstein zijn eerste artikel aan een vergadering van fysici, en zei hen dat ze een manier moesten vinden om golven en deeltjes als één geheel te begrijpen. Midden jaren '20, toen de originele kwantumtheorie vervangen was door de nieuwe kwantummechanica, stelde Einstein zich op tegen de Kopenhaagse interpretatie van de nieuwe vergelijkingen, omdat deze genoegen nam met een niet visualiseerbare verantwoording van fysisch waarschijnlijkheidsgedrag. Einstein ging er mee akkoord dat deze theorie de best beschikbare was, maar hij zocht toch naar een meer "volledige" verklaring, meer deterministisch. Hij kon de overtuiging niet loslaten dat de fysica de wetten beschrijft die heersen over "werkelijke zaken". Deze overtuiging had eerder geleid tot zijn successen met atomen, fotonen en zwaartekracht. In een brief aan Max Born uit 1926 maakte Einstein een opmerking die nu beroemd is: : Kwantummechanica is zeker indrukwekkend. Maar iets in mij zegt me dat het nog niet het ware is. De theorie zegt heel veel, maar ze brengt ons niet echt dichter bij het geheim van De Oude. Ik ben ervan overtuigd dat Hij niet met dobbelstenen werpt. Hierop reageerde Niels Bohr, die met Einstein wedijverde over de kwantumtheorie, met de opmerking: "Hou op God te zeggen wat Hij moet doen!" Het was geen verwerping van waarschijnlijkheidstheorieën op zich; Einstein gebruikte zelf statistische analyse in zijn werk over de Brownse beweging en de foto-elektriciteit, hij had zelfs Gibbs-verzamelingen zelf ontdekt; hij was er alleen van overtuigd dat de fysische realiteit zich in de kern deterministisch gedraagt. Experimenteel bewijs tegen deze overtuiging werd slechts veel later gevonden met de ontdekking van de stelling van Bell en de ongelijkheid van Bell. De discussie gaat echter nu nog door.

Bose-Einsteinstatistiek

In 1924 ontving Einstein een kort artikel van de jonge Indiase natuurkundige Satyendra Nath Bose, waarin deze licht als een fotonengas beschreef, en Einstein om assistentie bij de publicatie vroeg. Einstein realiseerde zich dat dezelfde statistiek op atomen kon worden toegepast, en publiceerde een artikel dat Boses model en de consequenties ervan beschreef. Bose-Einsteinstatistiek beschrijft elk stelsel van deze niet-onderscheidbare deeltjes, nu bekend als bosonen. Het verschijnsel van het Bose-Einsteincondensaat werd in de jaren '20 door Bose en Einstein voorspeld, gebaseerd op Boses werk aan de statistische mechanica van fotonen, geformaliseerd en gegeneraliseerd door Einstein. In 1995 werd voor het eerst zo'n condensaat gemaakt. Einsteins originele aantekeningen van deze theorie werden in 2005 in de Universiteitsbibliotheek te Leiden ontdekt in de nalatenschap van Ehrenfest.

Latere jaren

Einstein en voormalig student Leó Szilárd vonden samen een nieuw type koelkast uit in 1926. Ze gebruikten een koelprocédé bij constante druk, met alleen toevoer van warmte, zonder bewegende delen. De koelcyclus gebruikt ammoniak, butaan, en water. Men zou verwachten dat alle Duitsers trots zouden zijn op zo'n beroemde geleerde binnen hun grenzen maar Einsteins pacifisme en joodse afkomst waren een doorn in het oog van Duitse nationalisten. Nadat hij wereldberoemd was geworden groeide deze nationalistische haat tegen hem, en er ontstond zelfs een georganiseerde campagne om zijn theorieën in diskrediet te brengen. Toen Adolf Hitler in 1933 aan de macht kwam bereikte de haatcampagne tegen Einstein nieuwe hoogten. Einstein was in de Verenigde Staten, waar hij een lezingencyclus verzorgde, toen Hitler officieel de macht in Duitsland overnam en Einstein besloot niet meer terug te keren naar Duitsland. Hij gaf zijn Duitse staatsburgerschap op en kreeg een permanente verblijfsvergunning voor de VS. Hij aanvaardde een betrekking aan het pas opgerichte Institute for Advanced Study in Princeton, New Jersey. Hij werd Amerikaans staatsburger in 1940, hoewel hij steeds het Zwitserse staatsburgerschap behield. Einstein werd door het nazi-regime beschuldigd een "joodse natuurkunde" voor te staan in tegenstelling tot de "Duitse" of "Arische natuurkunde". Nazi-natuurkundigen (onder wie de Nobelprijswinnaars Johannes Stark en Philipp Lenard) gingen door zijn theorieën in diskrediet te brengen, en legden een zwarte lijst aan van Duitse natuurkundigen die Einsteins theorieën onderwezen (zoals Werner Heisenberg). In 1939 schreef Einstein een brief aan de Amerikaanse president Roosevelt, waarin hij waarschuwde dat Duitsland bezig was een atoombom te ontwikkelen. Hiermee gaf hij de aanzet voor het programma van de Amerikanen om die bom eerder te maken dan de Duitsers (het Manhattan Project) wat in 1945 lukte. (Einstein had deze brief waarschijnlijk niet zelf geschreven; hij was eigenlijk opgesteld door Leo Szilard, die Einstein verzocht om hem te ondertekenen omdat hij (waarschijnlijk terecht) dacht dat een brief van Einstein meer impact op de president zou hebben).

Zoektocht naar de unificatietheorie

Einstein bracht de laatste 14 jaren van zijn leven door met het zoeken naar een unificatietheorie die zwaartekracht en elektromagnetisme verenigde. Hij publiceerde verscheidene keren een unificatietheorie, maar telkens bleek dat deze toch niet alle krachten onder één noemer kon brengen. Achteraf gezien is dit niet verwonderlijk, omdat in zijn tijd hiervoor nog niet voldoende inzicht in de sterke kernkracht en zwakke kernkracht aanwezig was. Dit werd pas in 1970 bereikt, waarna het elektromagnetisme en de kernkrachten geünificeerd konden worden. Voor de zwaartekracht is dit nog steeds niet gelukt. Veelbelovend schijnt de M-theorie te zijn, maar deze is hiervoor nog niet voldoende uitgewerkt. Onder liefhebbers van samenzweringstheorien is het verhaal populair dat Einstein tenslotte wel degelijk een geslaagde unificatietheorie heeft opgesteld. Deze zou door Einstein niet zijn gepubliceerd omdat hij bang zou zijn voor 'misbruik'. Het militaire apparaat zou deze theorie gebruiken om zaken als UFO's, tijdreizen en anti zwaartekracht te ontwikkelen.

Laatste jaren

Einstein steunde het idee een Joodse universiteit te stichten in het toenmalige Britse mandaatgebied Palestina. Hij was actief betrokken bij oprichting van de Hebreeuwse Universiteit van Jeruzalem. Hij zamelde onder andere geld in voor de universiteit met Chaim Weizmann, wetenschapper en zionistisch leider. Uiteindelijk liet hij zijn persoonlijke eigendommen, inclusief zijn geschriften, na aan de Hebreeuwse Universiteit. Hij was eveneens betrokken bij de oprichting van de Technion-universiteit in Haifa. Na de oorlog liet Einstein weten dat hij niets zag in een kernwapenwedloop. Hij waarschuwde voor de mogelijk catastrofale gevolgen, maar kreeg deze keer niet zijn zin. In zijn latere jaren was hij socialistisch gezind. Hierover schreef hij in de eerste editie van Monthly Review (mei 1949) een onder marxisten veel gelezen artikel. In 1952 bood de Israëlische regering Einstein het presidentschap aan. Hij zei "vereerd te zijn met het aanbod maar ongeschikt voor de positie" en sloeg het af. Daarmee werd hij de enige burger van de Verenigde Staten die ooit de positie van buitenlands staatshoofd werd aangeboden. Op 30 maart 1953 publiceerde Einstein voor de laatste keer een herziene unificatietheorie. 1953 Hij stierf in zijn slaap in een ziekenhuis in Princeton op 18 april 1955. Volgens zijn eigen wens werd hij dezelfde dag in Trenton gecremeerd. Zijn hersenen werden bewaard in een bokaal door Dr. Thomas Stoltz Harvey, de patholoog die de autopsie uitvoerde. Harvey ontdekte niets bijzonders aan deze hersenen, maar in 1999 vond een team aan de McMaster-Universiteit dat het deel van de hersenen dat gebruikt wordt voor wiskundig denken, ruimtelijke herkenning en bewegingsinzicht 15% breder was dan normaal.

Externe links

- [http://www.albert-einstein.org/ Albert Einstein-archieven (Engels)]
- [http://fys.kuleuven.be/fysica2005/download/einstein.pdf Nederlandse vertaling van Einsteins artikelen uit 1905]
- [http://www.monthlyreview.org/598einst.htm Einsteins artikel in Monthly Review Why Socialism?]

Tijdlijn

---- ImageSize = width:830 height:370 PlotArea = width:780 height:340 left:10 bottom:25 Colors = id:canvas value:rgb(0.97,0.97,0.97) id:grid1 value:rgb(0.86,0.86,0.86) id:grey value:gray(0.8) id:ch1 value:rgb(0.6,0.6,1) id:ch2 value:rgb(0.6,0.6,0.5) BackgroundColors = canvas:canvas bars:canvas Period = from:1875 till:1970 TimeAxis = orientation:horizontal format:yyyy ScaleMajor = unit:year increment:5 start:1880 gridcolor:grid1 DateFormat = yyyy AlignBars = justify BarData = # set presentation order of bars # text:_ means show no text on axis (I'll make this default behaviour in next version of EasyTimeline) bar:ereignisse text:_ bar:e1 text:_ # only used to provide extra space bar:1 text:_ bar:2 text:_ bar:3 text:_ bar:4 text:_ bar:5 text:_ bar:6 text:_ bar:7 text:_ bar:8 text:_ bar:9 text:_ bar:10 text:_ bar:11 text:_ PlotData= # set defaults width:25 fontsize:S textcolor:black anchor:from align:left shift:(0,-25) # draw the background bar and bar descriptions bar:ereignisse from:start till:end color:grey # events bar:ereignisse from:1879 till:1901 color:black text:"Opgroeien en opleiding" bar:ereignisse from:1905 till:1916 color:ch1 text:"Periode van zijn belangrijkste werken" bar:ereignisse from:1932 till:1955 color:ch2 text:" Zijn leven in de VS" # change defaults fontsize:S shift:(-2,18) align:left shift:(0,-8) # shift all texts 11 pixels to left to center year figures on actual event time # and 12 pixels down to put them below bar # events, placed on consecutive (invisible) bars bar:1 at:1879 text:"1879 Albert Einstein wordt geboren in Ulm (DE)" bar:2 at:1888 text:"1888 Luitpoldgymnasium in München" bar:3 at:1895 text:"1895 Kantonsschool in Aarau (CH)" bar:4 at:1900 text:"1900 Afsluiting van studie wis- en natuurkunde aan de ETH in Zürich" bar:5 at:1901 text:"1901 Eerste werk in Annalen der Physik" bar:6 at:1905 text:"1905 De speciale relativiteitstheorie" en vijf andere werken bar:7 at:1916 text:"1915 De algemene relativiteitstheorie" bar:8 at:1921 text:"1921 Nobelprijs voor het foto-elektrisch effect" bar:9 at:1939 text:"1939 Waarschuwing aan Roosevelt Duitse atoombom" bar:10 at:1951 text:"1951 foto met uitgestoken tong" bar:11 at:1955 text:"1955 Einstein sterft" ---- Einstein, Albert Einstein, Albert Einstein, Albert Einstein, Albert Einstein, Albert Einstein, Albert + ja:アルベルト・アインシュタイン ko:알베르트 아인슈타인 ms:Albert Einstein simple:Albert Einstein th:อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์

Rustmassa

De rustmassa (

m_0

) is de massa van een deeltje dat zich in rust bevindt. Volgens de relativiteitstheorie is de momentane waarde van de massa afhankelijk van de snelheid; er is dus een massatoename bij toenemende snelheid. Dit effect is pas merk- of meetbaar wanneer de lichtsnelheid voldoende benaderd wordt. Er is steeds meer energie nodig om het deeltje te versnellen naarmate het de lichtsnelheid nadert. De massa m bij een gegeven snelheid v en een rustmassa m₀ is gelijk aan:

m=\frac=m_0 \gamma

met

\gamma

de Lorentz-factor. Om de lichtsnelheid te bereiken is een oneindige hoeveelheid energie nodig, waardoor een deeltje met massa nooit de lichtsnelheid kan bereiken. Fotonen hebben geen massa en bewegen zich in een vacuüm met de lichtsnelheid. De equivalente massa van een foton wordt dan echter

\frac

, wat onbepaald is. Die equivalente massa kan wel gehaald worden uit de energie van een foton:

E=m c^2=hf

met f de frequentie en h de constante van Planck. Een andere manier om dit te bekijken is dat elk deeltje dat geen massa heeft aan de lichtsnelheid moet bewegen om een zekere energie te kunnen hebben en dus te bestaan. Een alternatieve wijze van beschrijven van de relativiteitstheorie, is te zeggen dat de massa constant is (en gelijk aan de rustmassa), maar de impuls van een deeltje gelijk is aan

\gamma mv

in plaats van

mv

. Beide wijzen van verklaring zijn vanuit mathematisch gezichtspunt precies gelijk, dat wil zeggen, ze geven precies dezelfde meetbare resultaten. =Verwante fenomenen=
- tijdsdilatatie
- lengtecontractie
- Massa-energierelatie Categorie:Kernfysica Categorie:Mechanica Categorie:Relativiteit

Foton

Fotonen zijn een verschijningsvorm van elektromagnetische straling. Afhankelijk van de gebruikte meetopstelling zal straling (een vorm van energie) zich voordoen als golven of als een stroom van massaloze energiedeeltjes, fotonen. Ze worden doorgaans aangeduid met het symbool γ (de derde Griekse letter, gamma). Licht is niets anders dan elektromagnetische straling met een energieniveau dat door bepaalde cellen in onze ogen geabsorbeerd kan worden. Licht bestaat dus ook uit fotonen. Fotonen kunnen binnen een atoom ontstaan als een elektron naar een lagere energietoestand terugvalt en de resterende energie in de vorm van een foton uitzendt. Fotonen kunnen ook opgewekt worden bij nucleaire processen, het terugvallen van een kern uit een geëxciteerde toestand naar een lagere energietoestand, kernsplijting en kernfusie. Ook bij de interactie tussen elementaire deeltjes of het spontane verval van één elementair deeltje naar een ander kunnen fotonen vrijkomen. Wanneer een elementair deeltje en zijn antideeltje botsen wordt alle massa omgezet in een energierijk foton. Elk elektromagnetisch veld dat in sterkte varieert produceert ook elektromagnetische straling (en dus fotonen). In een vacuüm bewegen fotonen zich, zoals alle massaloze deeltjes noodzakelijkerwijze met de lichtsnelheid c, ongeveer 2,998 × 10⁸ meter per seconde, voort. Licht met frequentie f bestaat uit fotonen met energie E: : E = h f impuls p: : p = h f / c en de DeBroglie Hypothesis van impuls p : p = h / lambda waar h de constante van Planck is (zie de dualiteit van golven en deeltjes). Terwijl fotonen zich door transparante media voortplanten, zullen ze vertragen naar gelang hun frequentie waardoor er refractie (breking) van het licht optreedt aan het grensvlak van twee transparante stoffen. Wit licht is samengesteld uit verschillende frequenties (kleuren): een spectrum. Wetenschappers denken dat fotonen fundamentele deeltjes zijn met een eindige energie op de lichtsnelheid maar met rustmassa nul. Einsteins algemene relativiteitstheorie voorspelde dat de baan van fotonen door zwaartekracht wordt beïnvloed. Dit was destijds (1905) volstrekt in tegenspraak met de heersende opvattingen, maar werd later bevestigd door waarnemingen. De aanname dat fotonen steeds op een rechte bewegen moest worden aangepast naar de aanname dat fotonen langs geodeten bewegen, welke rechten zijn in een massaloze ruimte. Zie deeltjesfysica, optica en spectroscopie. Categorie:Kwantumfysica Categorie:Natuurkunde Categorie:Deeltje ja:光子 ko:광자 simple:Photon

Hermitische matrix

In de lineaire algebra noemt men een vierkante matrix hermitisch of zelfgeadjungeerd, als de matrix gelijk is aan zijn geadjungeerde, de getransponeerde van zijn complex geconjugeerde.

Definitie

Een n×n-matrix A heet hermitisch als: :

A = A^\dagger (= \bar^T)

, of in termen van z'n elementen: :

a_ = \bar_

Voorbeeld

De onderstaande matrix is een hermitische 3×3-matrix:

\begin
 0   &  5+i & -i  \\
 5-i & 16   &  3  \\
 i   &  3   &  5         \end

Eigenschap

Voor een hermitische matrix A geldt:

(x,Ay)=(Ax,y)\!

.
Daaruit ziet men ook direct dat de eigenwaarden van een hermitische matrix A reëel zijn, immers als

\lambda

een eigenwaarde van A is, bij de eigenvector

x \ne 0

, geldt: :

\lambda (x,x) = (x,\lambda x) = (x,Ax) = (Ax,x) = (\lambda x,x) = \bar(x,x)

, zodat

\bar = \lambda\!

, dus reëel.

Operatoren

Een matrix is op te vatten als voorstelling van een lineaire afbeelding. Men spreekt dan ook van hermitische lineaire afbeeldingen en heel algemeen van hermitische lineaire operatoren indien zij zelf-geadjungeerd zijn. De eerstgenoemde eigenschap leent zich goed voor de generalisatie van het begrip hermitisch.

Definitie

Een begrensde lineaire operator A op een Hilbertruimte heet hermitisch als: :

(x,Ay)=(Ax,y)\!

Natuurkunde

In de natuurkunde spelen hermitische matrices een belangrijke rol, omdat deze altijd reële eigenwaarden hebben. Een operator met reële eigenwaarden correspondeert met een meetbare grootheid in de kwantummechanica. Zo wordt bijvoorbeeld in de kwantummechanica de impuls

p

voorgesteld door de operator

p_ = \frac

. Deze is hermitisch, want

\langle \psi_|p_\psi_\rangle = \langle p_ \psi_| \psi_\rangle

Immers:

\langle\psi_|p_\psi_\rangle 
= \int_^
= \psi_1^ -  \psi_2|_^ - \int_^ 
= \int_^
= \langle p_ \psi_| \psi_\rangle

Door de randvoorwaarde valt de stokterm weg, want in de praktijk zullen we altijd werken met

a = \infty

b= -\infty

, dus

\psi_(a) = \psi_(b) = 0

. Categorie:Lineaire algebra ja:エルミート行列

Lagrangiaan

In de mechanica is de Lagrangiaan een functie van zogenaamde gegeneraliseerde coördinaten en gegeneraliseerde snelheden, die samen met een stel differentiaalvergelijkingen gebruikt kan worden om de bewegingsvergelijkingen van een systeem af te leiden. Preciezer gezegd is de Lagrangiaan het verschil tussen de kinetische en de potentiële energie van het systeem. Deze methode om het gedrag van een systeem te bepalen wordt het Lagrange-formalisme genoemd, naar de Franse wiskundige Joseph-Louis Lagrange die haar in 1782 introduceerde.

Wiskundige formulering

We nemen aan dat de toestand van het systeem op elk ogenblik beschreven kan worden door een aantal variabelen (de gegeneraliseerde coördinaten), zeg

q_1,q_2,\ldots,q_n

. De afgeleiden van deze variabelen naar de tijd (de gegeneraliseerde snelheden) noemen we

\dot q_1, \dot q_2, \ldots, \dot q_n.

We kunnen de kinetische energie T van het systeem uitdrukken in deze variabelen: :

T=T(q_1,q_2,\ldots,q_n,\dot q_1,\dot q_2,\ldots,\dot q_n)

. Verder nemen we aan dat de potentiële energie V van het systeem uitgedrukt kan worden in termen van de gegeneraliseerde coördinaten: :

V=V(q_1,q_2,\ldots,q_n).

We definiëren nu de Lagrangiaan als

L=T-V

. Onder de hierboven genoemde voorwaarden worden de bewegingsvergelijkingen gegeven door de vergelijkingen van Lagrange: :

\frac\left(\frac\right) - \frac=0\qquad(i=1,2,\ldots,n).

In het geval dat er krachten in het systeem aanwezig zijn die niet verwerkt kunnen worden in de potentiële energie worden de Lagrangevergelijkingen :

\frac\left(\frac\right) - \frac=Q_i\qquad(i=1,2,\ldots,n)

waarbij

Q_i

de component van de restkracht is die invloed heeft op de coördinaat

q_i

Voorbeelden

Massa aan veer

We bekijken een voorwerp met massa m aan een veer met veerconstante C. De uitrekking van de veer noemen we u. In dit systeem is de kinetische energie gelijk aan :

T=\fracm\dot u^2

en de potentiële energie is :

V=\fracCu^2.

Dit houdt in dat de Lagrangiaan gegeven wordt door :

L=T-V=\fracm\dot u^2-\fracCu^2.

Het systeem wordt beschreven door één gegeneraliseerde coördinaat, u, met bijbehorende gegeneraliseerde snelheid

\dot u

. De partiële afgeleide van L naar

\dot u

m\dot u

, en de partiële afgeleide naar u is -Cu. De Lagrangevergelijking van het systeem wordt dus :

\frac(m\dot u)+Cu=0,

een vergelijking die te herkennen is als de wet van Hooke.

Geladen deeltje in elektromagnetisch veld

De potentiële energie van een deeltje met lading q dat zich beweegt door een elektrisch veld E beschreven door de potentiaal φ is q φ zodat de Lagrangiaan eenvoudig volgt

L=\fracmu^2 -q \phi

. Indien echter ook een magnetisch veld B aanwezig is wordt de situatie wat gecompliceerder, er kan immers geen potentiële energie worden toegekend aan een geladen deeltje in een magnetisch veld. Aangezien het magnetisch veld wel degelijk de beweging van het deeltje beïnvloedt moet een uitdrukking gevonden worden voor de Lagrangiaan die de juiste bewegingsvergelijking

m \frac=q(\vec+\vec \times \vec)

oplevert. Dit blijkt te zijn

L=\fracmu^2 -q \phi +q\vec \cdot \vec

met A de magnetische vectorpotentiaal behorend bij het veld B. Met gegeneraliseerde coördinaten de gewone Cartesische coördinaten x, y en z worden de gegeneraliseerde snelheden

\dot, \dot, \dot

zodat de x-component van de Lagrangevergelijkingen wordt

\frac\frac=\frac

. Invullen van de Lagrangiaan levert met

u^2=\dot^2+\dot^2+\dot^2

\frac(m\dot+qA_x)=-q\frac +q\frac(\dotA_x+\dotA_y+\dotA_z)

m \ddot+q \frac =-q\frac+q(\dot\frac+\dot\frac+\dot\frac)

of na herschikken

m \ddot=-q(\frac+\frac)+q[\dot(\frac-\frac)+\dot(\frac-\frac)]=qE_x+q(\dotB_z-\dotB_y)

. Dit is precies de x-component van de bewegingsvergelijking van een geladen deeltje in een elektromagnetisch veld. Voor de overige componenten volgt iets soortgelijks, wat de voorgestelde Lagrangiaan rechtvaardigt.

Toepassing in de kwantummechanica

De Amerikaanse nobelprijswinnaar Richard Feynman heeft in 1948 met zijn padintegralen een heel elegant verband gelegd tussen de Lagrangiaan van een mechanisch systeem en de kwantummechanische golffunctie van datzelfde systeem. Categorie:Mechanica

Impulsmoment

De natuurkundige grootheid impulsmoment is te omschrijven als de hoeveelheid draaiing van een object. Het impulsmoment van een massapunt ten opzichte van een punt wordt gedefinieerd door de volgende formule: :

\vec = \vec \times \vec

waarin:
-

\vec

het impulsmoment [kg.m²/s]
-

\vec

de voerstraal tot het gekozen punt [m]
-

\vec = m \vec

de impuls [kg.m/s], met m de massa en

\vec

de snelheid Deze grootheden zijn vectorgrootheden. Dat wil zeggen, ze hebben een grootte én een richting. Het symbool × duidt het kruisproduct aan. Het kruisproduct van twee vectoren staat loodrecht op het vlak waarin beide vectoren liggen, is maximaal als die vectoren onderling loodrecht zijn, en nul als zij in dezelfde richting liggen: de hoekafhankelijkheid gaat met de sinus van de hoek tussen de vectoren.

Wet van behoud van impulsmoment

Het impulsmoment van een massapunt verandert niet als er geen resulterend moment op wordt uitgeoefend. Dit kan als volgt afgeleid worden. De verandering van impulsmoment is: :

\frac = \frac \times \vec + \vec \times \frac

. Nu is: :

\frac=\vec

, de snelheid van het massapunt en :

\frac=m\vec

, zodat: :

\frac = \vec \times \vec + m\vec \times \vec

. Daarin is: :

\vec \times \vec = m \vec \times \vec=0

en :

\frac = \vec \times \vec = \vec

, met

\vec

het uitgeoefende koppel. Indien F nul is of in de richting van de draaias werkt is er geen koppel, zodat :

\frac = \vec

Dus L = r × p is constant tijdens de beweging van het object. Met andere woorden, L is een behouden grootheid.

Impulsmoment van kunstschaatsers

Een kunstschaatser maakt vaak een pirouette, een snelle ronddraaiende beweging. Daarbij wordt de draaiing ingezet met wijd uitgestrekte armen. Als de schaatser de armen intrekt wordt de draaiing enorm versneld. Dat komt door de wet van behoud van impulsmoment. Bij het intrekken van de armen wordt r kleiner, L is constant, L = r × p, dus p (de impuls) zal toenemen. De impuls, p is bij constante massa evenredig aan de lineaire snelheid.

Impulsmoment van planeten en satellieten

De voorwaarde dat de kracht F evenwijdig is aan r is bijvoorbeeld (in goede benadering) van toepassing bij de baan van een planeet om de zon - de aantrekkende kracht is evenwijdig met de afstandsvector van zon tot planeet, en hangt alleen van de afstand r af. Als r × p konstant is, terwijl r varieert (elliptische baan), dan zal p zo variëren, dat L konstant blijft. Daaruit kan de perkenwet van Kepler worden afgeleid.

Impulsmoment van elementaire deeltjes

In de atoomfysica geldt hetzelfde: de potentiaal van de atoomkern is bolsymmetrisch, en de elektronentoestanden zijn gekarakteriseerd door hun impulsmoment. Het impulsmoment t.g.v. p wordt het baanimpulsmoment L genoemd. Een elektron heeft echter ook een intrinsiek impulsmoment: de spin S. Het totale impulsmoment J is de resultante van L en S. De notatie is dan s, p, d, .., voor impulsmoment groot 0, 1, 2, .... Opmerkelijk is, dat in een atoom het impulsmoment gelijk aan nul kan zijn. Klassiek zou dat betekenen, dat het elektron stil staat t.o.v. de atoomkern. Maar een atoom moet met kwantummechanika worden beschreven. Categorie:Mechanica ja:角運動量 ko:각운동량 ms:Momentum sudut

Саббатай Цеві

Саббатай Цеві (або Шабтай Цві; 1626 — 1676), провідник єврейського месіяністичного руху 17 в., родом з м. Смірни (в Малій Азії), який проголосив себе месією — визволителем єврейського народу. Хоч тур. влада заарештувала С. й він перейшов на мохаммеданство, проте його науку визнавали численні єврейські громади в розсіянні, у тому ч. й на Україні, зокрема по війнах Богдана Хмельницького, в яких вони вбачали передмесіяністичні страждання, що з появою месії перетворяться на радість. Проти саббатаїзму виступали рабини (єврейські традиціоналісти), зокрема на соборі у Львові, 1722, та духовенство христ. церков (І. Ґалятовський у творі «Месія правдивий», 1669). З часом, коли надії покладені на Саббатая Цеві не здійснилися, його рух занепав і залишився тільки у невеликих групах (у Буську, Ґлинянах, Жовкві, Надвірній, Підгайцях, Рогатині) та став базою на укр. землях для хасидів і франкістів.

Література

- Енциклопедія українознавства Category:Статті які слід доробити Category:Stub Category:Персоналії Са

gambling seo Rolety mBank Strona Informacyjna finanse

:: RELATED NEWS ::

Metalurg Zaporozhye
Le Metalurg Zaporozhye est un club de football ukrainien basé à Zaporozhye

Historique

- 1935 : fondation du club sous le nom de Stal Zaporozhye
- 1950 : le club est renommé Metalurg Zaporozhye
- 2002 : 1ère participation à une Coupe d'Europe (C3) (saison 2002/03)

Liens externes

- [h